前言

"人再笨，还能学不会微积分吗？" ——钱学森

正文

微分

瞬时变化

类似于：算一条函数曲线上每个点的斜率（也就是求导），或者一个物体的瞬时移动速度

定义：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

这里的 h 就是“横坐标上一个很小的挪动”。

先取一个比较大的 h，你得到的是两点连成的割线斜率。

当 h 越来越小时，这条割线逐渐逼近切线，最后的极限就是曲线在点 x 的瞬时斜率。

例子：

\begin{align} f(x) & = x² \\ f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)² - x²}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} {2x + h} \\ & = 2x \end{align}

所以 y=x² 的导数是 2x。

在点 (1,1)，斜率就是 2。

这就是“瞬时变化率”的意义。

积分

曲线下面积

如果微分是研究“变化”，积分就是研究“累计”。

想象函数 y=f(x) 在 x 轴上方，从 a 到 b 之间的区域。我们想求这块曲线下方的面积。

思路：

把区间 [a,b] 分成很多小段，每一小段宽度是 dx，在每段上画一个小矩形，矩形高度是 f(x)。

小矩形面积大约是 f(x)·dx。

把这些小矩形加起来，就逼近了曲线下的面积。

当 dx → 0，无限多个矩形拼起来，就得到严格的面积——这就是积分。

记号：

∫ f(x) dx （这是不定积分）

∫_a^b f(x) dx （这是定积分，表示区间 [a,b] 的面积）

举例

求 y=x² 在区间 [0,2] 下方的面积。

\begin{align} \int_0^2 x^2 \, dx & = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \\ & = \frac{8}{3} - 0 \\ & = \frac{8}{3} & \text{(≈2.67)} \end{align}

所以这块弯弯的区域面积是 8/3。