引子

We must know. We shall know.

在 19 至 20 世纪，第三次数学危机——悖论的爆发，出现了许多自相矛盾的命题，如罗素提出的罗素悖论。罗素发现，如果随便定义集合，逻辑便会出现自我矛盾。

R={x∣x∉x} R∈R  ⟺  R∉R \begin{array}{c} R = \{x \mid x \notin x \} \\ R \in R \iff R \notin R \end{array}

于是，数学家希尔伯特提出了“希尔伯特计划”，想把整个数学彻底公理化，并达到三个终极目标：

  • 一致性（系统内不会推导出互相矛盾的结论）

  • 完备性（每一个真命题都能在系统内得到证明）

  • 可判定性（存在一种算法，能自动判断任何命题的真假）

但在 1930 年，哥德尔证明了“一致性”和“完备性”都不存在

哥德尔数

哥德尔用他那恐怖的直觉想到了，字符本身也可以用数字表示。

符号

含义

哥德尔数

00

数字 0

1

SS

后继

2

==

等于

3

¬\neg

非

4

∨\vee

或

5

∀\forall

对所有

6

((

左括号

7

))

右括号

8

xx

变量

9

,,

逗号

10

++

加号

11

×\times

乘号

12

{\{

左大括号

13

}\}

右大括号

14

∃\exists

存在

15

自然数由 0 的若干次后继组成，其他变量用大于 15 的质数依次往后。

计算一个定理的哥德尔数

首先，将一个命题翻译成哥德尔数。然后，将这一串哥德尔数的数组作为指数依次放在从 2 开始的质数序列上，并将这些质数序列相乘。通过质数的特殊性质，可以知道，得出来的哥德尔数具有唯一性（即这一个哥德尔数只对应这一个命题且不会重复）。

例如， 1+1=21+1=2 可以翻译成 2,7,1,8,11,2,7,1,8,3,2,2,7,1,82, 7, 1, 8, 11, 2, 7, 1, 8, 3, 2, 2, 7, 1, 8

对应的哥德尔数也就是

G=22×37×51×78×1111×132×177×191×238×293×312×372×417×431×478G = 2^2 \times 3^7 \times 5^1 \times 7^8 \times 11^{11} \times 13^2 \times 17^7 \times 19^1 \times 23^8 \times 29^3 \times 31^2 \times 37^2 \times 41^7 \times 43^1 \times 47^8

得出

G = 47494927001859172309308045213021412714476518096291238037577530781689622448344560260

所以在我的定义下（上面的表）， 1+1=21+1=2 对应的哥德尔数就是

47494927001859172309308045213021412714476518096291238037577530781689622448344560260

如果有想快速计算哥德尔数的且需求量不是很大（对应出来的数组不超过 1000。我懒得写，直接硬编码），可以使用我的代码 
PRIME_LIST = [
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
    31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
    127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,
    179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,
    233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
    283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,
    353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409,
    419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
    467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541,
    547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601,
    607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
    661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733,
    739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,
    811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
    877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941,
    947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013,
    1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069,
    1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151,
    1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223,
    1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291,
    1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373,
    1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451,
    1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511,
    1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583,
    1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657,
    1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733,
    1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811,
    1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889,
    1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987,
    1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053,
    2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129,
    2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213,
    2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287,
    2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357,
    2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423,
    2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531,
    2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617,
    2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687,
    2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741,
    2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819,
    2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903,
    2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999,
    3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079,
    3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181,
    3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257,
    3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331,
    3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413,
    3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511,
    3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571,
    3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643,
    3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727,
    3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821,
    3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907,
    3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989,
    4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057,
    4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139,
    4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231,
    4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297,
    4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409,
    4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493,
    4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583,
    4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657,
    4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751,
    4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831,
    4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937,
    4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003,
    5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087,
    5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179,
    5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279,
    5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387,
    5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443,
    5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521,
    5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639,
    5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693,
    5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791,
    5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857,
    5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939,
    5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053,
    6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133,
    6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221,
    6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301,
    6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367,
    6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473,
    6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571,
    6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673,
    6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761,
    6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833,
    6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917,
    6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997,
    7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103,
    7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207,
    7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297,
    7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411,
    7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499,
    7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561,
    7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643,
    7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723,
    7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829,
    7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919,
]
def calculate_product():
    user_input = input("请输入指数（空格隔开，回车结束）：\n")
    
    try:
        exponents = [int(e) for e in user_input.split()]
        if len(exponents) > len(PRIME_LIST):
            print(f"警告：输入的指数个数 ({len(exponents)}) 超过了已有的质数数量 ({len(PRIME_LIST)})。")
            return

        # 5. 执行计算：Product = p1^e1 * p2^e2 * ...
        result = 1
        for i in range(len(exponents)):
            p = PRIME_LIST[i]
            e = exponents[i]
            if e != 0:
                result *= (p ** e)
        
        print("\n计算结果为：")
        print(result)

    except ValueError:
        print("错误：请输入有效的整数数字，并确保用空格隔开。")

if __name__ == "__main__":
    calculate_product()

计算一个证明过程的哥德尔数

现在我们学会了计算定理的哥德尔数，那怎么计算一个证明过程的哥德尔数呢？

我们拿 1是存在的1 是存在的 来举例

根据皮亚诺公理，证明过程应该是这样的

(∃x)(x=sy) (∃x)(x=s0) \begin{array}{c} (\exists x)(x=sy) \\ (\exists x)(x=s0) \end{array}

我们计算出每一条的哥德尔数

第一个：

7 15 9 8 7 9 3 2 17 8

即 534802314329872976685782494276313356648578746796126522882335542248979884750000000

记作 a

第二个：

7 15 9 8 7 9 3 2 1 8

即 87206308256984819177022405657782879804994513602124750000000

记作 b

然后这个证明过程的哥德尔数就是 2a×3b2^{a} \times 3^{b} 。如果过程长就接着往后加。

由于计算结果超过 108010^{80} ，就不放了

到此为止，所有证明过程都有了自己的哥德尔数

计算一个命题的命题的哥德尔数

例如

1+1=2的第二个符号是"+"1+1=2 的第二个符号是 "+"

观察

G=22×37×51×78×1111×132×177×191×238×293×312×372×417×431×478G = 2^2 \times 3^7 \times 5^1 \times 7^8 \times 11^{11} \times 13^2 \times 17^7 \times 19^1 \times 23^8 \times 29^3 \times 31^2 \times 37^2 \times 41^7 \times 43^1 \times 47^8

可以注意到，"+" 所对应的因子是 373^7 ，所以我们只需要判断 GG 能否被 373^7 整除且能否被 383^8 整除就行了

整理得

G = 47494927001859172309308045213021412714476518096291238037577530781689622448344560260

(∃x)(x⋅311=G)∧ ¬(∃x)(x⋅312=G) \begin{array}{c} (\exists x)(x \cdot 3^{11}=G) \wedge \\ \neg(\exists x)(x \cdot 3^{12}=G)\end{array}

哥德尔不完备性定理

如果你看到这里还在坚持，那么你已经是万里挑一的人了，我希望你不要在接下来半途而废。

假设所有真命题都可以通过公里证明 令G(Φ)为Φ的哥德尔数 令sub(a,b,c)=ϵx{x≤Bound(a,b)∧IsReplacement(x,a,b,c)} 考虑命题“无法证明哥德尔数是sub(y,y,17)的命题”=n 有“无法证明哥德尔数是sub(n,n,17)的命题”=sub(n,n,17) 综上所述，原假设不成立 证毕 \begin{array}{c} 假设所有真命题都可以通过公里证明 \\ 令 G(\Phi) 为 \Phi 的哥德尔数 \\ 令 sub(a, b, c) = \epsilon x \{x \leq \text{Bound}(a, b) \wedge \text{IsReplacement}(x, a, b, c) \} \\ 考虑命题“无法证明哥德尔数是 sub(y,y,17) 的命题” = n \\ 有“无法证明哥德尔数是 sub(n,n,17) 的命题” = sub(n, n, 17) \\ 综上所述，原假设不成立 \\ 证毕 \end{array}

没错，就这么简单

sub(a,b,c)sub(a,b,c) 是指将G(a)中G(x)=c的x替换为b （即对角线引理）

它在哥德尔的原本的论文中是一个极其重要的，证明数学的完备性不成立的核心。

哥德尔不完备性定理 2

哥德尔这小子祸害希尔伯特没完了

下篇出