很多时候，我们需要求一个函数在某点上的变化率（斜率），这时我们就要对它进行求导。

导数的定义

导数，即一个函数在各点时的瞬时变化率。

图中，是一个很常见的二次函数 $y=x^2$ ，我们以这个函数为例。

图中有两点 a,b 在二次函数上，过 a,b 做直线。这时，这条直线（割线）的斜率是这两点的平均变化率。

不难看出，当我们让这两点不断接近但永不重合，当这两点靠得足够近时，那么这条直线的斜率就会变成这个点的瞬时变化率（即“切线”）

用公式表示就是

导数的性质

常数的导数

因为导数是对原函数求变化率，所以与常数项无关

所以，常数的导数是 0

幂函数的导数

观察一个 $x^2$ ，当 $x$ 增加一点（ $h$ ）时， $x^2$ 变为 $x^2 + 2hx +h^2$ ，增加了 $2hx + h^2$ ，再除以增量 $h$ ，瞬时变化率就是 $2x + h$ ，当 $h$ 趋向于 0 时，该式为 $2x$ 。所以 $(x^2)' = 2x$

其他次幂同理，观察得

$(x^a)' = ax^{a-1}$

例如 $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

指数函数的导数

我们知道， $a^x = e^{x \ln_{}{a}}$ ，而 $(e^x)'=e^x$ （自然底数的特性）

根据链式法则，有

三角函数的导数

首先，观察一个单位圆上有一个足够小的弧度 $h$ ，满足 $sin (h) <h<tan(h)$

同时除以 $sin(h)$ ，得 $1< \frac{h}{sin(h)} < \frac{1}{cos(h)}$ ，取倒数，得 $cos(h)< \frac{sin(h)}{h}<1$ 。

当 $h$ 趋向于 0 时， $cos(h)$ 趋向于 1，根据夹逼定理， $\frac{sin(h)}{h}$ 必定趋向于 1

即

注意到函数 $f(x)=sinx$ 的导函数为

运用和差化积公式 $sin \alpha - sin \beta = 2cos \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ ，得

整理，得

根据前面推出的 $\lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = 1$ 得

即 $(sinx)' = cosx$

同理，得 $(cosx)' = -sinx$

对数函数的求导

因为 $(a^x)' = a^x ln a$ ，而对数函数是指数函数的反函数，所以 $(\log_{a}{x})' = \frac{1}{a^xlna}$ 。当 $a=e$ 时有 $(lnx)' = \frac{1}{x}$

复合函数的求导

大部分时候我们遇到的函数可能并不单一，而是复合函数（如 $\sqrt{x^2 + 2x}$ 等）

对于复合函数，我们不能将内函数直接看做自变量求导，而是需要用到链式法则

以 $\sqrt{x^2 + 2x}$ 为例

将其转化为指数形式并赋值，得

根据链式法则，有

即在 $y=u^{\frac{1}{2}}$ 中对 $u$ 求导，并在 $u=x^2 + 2x$ 中对 $x$ 求导

分别得

根据链式法则 $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ，得

将 $u=x^2 + 2x$ 带入原式并整理，得

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以上就是常见函数的导数，那么如果遇到式子（非标准函数形式）该怎么求导呢？

式子求导运算法则

第二个也就是常说的“前导后不导，前不导后导”

积分

既然导数都说了，作为它的逆运算，怎么能不说积分呢

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积分，是导数的逆运算。

记作 $\int f(x)dx = F(x)+C$ ，因为常数的导数是 0，所以这里求完积分后要加一个常数，所以这个积分表示的其实是一个“集”

定积分

定积分，多用于求曲线下的面积

记作 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

导数和积分的关系

导数是从“位置”求“速度”，积分就是从“速度”反推“位移”。